在矿物加工学领域中，矿物加工数学模型的构建与应用是十分重要的内容，关系到了设计、生产、运营的方方面面，是数学与矿物加工技术发展的共同结晶。近年来，随着计算机科学、仿真技术等的不断发展，矿物加工领域的数学建模也需要引入新思维和新技术。为此，吴翠平编著的《矿物加工数学模型》一书系统介绍了矿物加工数学模型的构建方法与仿真技术，并且提供了大量的实例供读者参考，直接反映了近年来矿物加工领域数学建模的最新成果。全书共分为十个章节。第一章对数学模型及其构建方法进行了概述；第二章介绍了矿物加工领域数学建模过程需要用到的数学理论，包括行列式、数值计算方法、最小二乘法等；第三章与第四章分别介绍了拟合模型、差值模型两个经验模型的构建方法与应用；第五章至第八章分别阐述了重选模型、浮选模型、粉碎模型、筛分和分级模型几个专有模型的使用与优化方法；第九章介绍了选煤优化软件包的应用与选矿厂模拟软件ＭｏｄＳｉｍ的使用方法；第十章介绍了计算流体力学的基本原理，以及重介质旋流器、浮选柱等的模拟方法；附录提供了上机实验的任务内容与部分常用的相关ＭＴＡＬＡＢ函数。数学模型的狭义定义指的是用数学关系式来表达的、反映原型系统特征的模型，其内容涵盖了原型系统的特性、与系统相关的问题、以及回答这些问题的数学表达式。从另一方面来看，数学模型也可以视为“与现实组成部分相关，并根据特定目的而建立的一个抽象及简化的数学结构”。数学模型的分类方式多种多样，在矿物加工学领域中可以分为机理模型和经验模型，也可分为稳态模型与动态模型等。数学模型的构筑过程被称为数学建模，建模过程需要具备相应的专业背景与数学知识理论。针对一些常用的描述数学模型的术语，本书给出了详细释义，如因变量、系统参数、辅助变量、统计方法等。

本书以单容水槽机为例解释了机理模型的建模方法，同时给出了经验模型的建模步骤，即：①明确建模目标；②获取数据信息；③确定模型表达式；④确定模型参数；⑤模型检验。数学模型在矿物加工过程中可以被应用于以下几个方面：第一，选厂设计；第二，企业生产运营管理；第三，选厂自动控制等。在涉及概率论与数理统计的内容中，本书介绍了随机变量的数字特征，主要有数学期望与位置参数、方差与散布特征、偏度系数、峰度系数等。之后对在工程应用背景中最常用的正态分布给出了详细描述，对数理统计中的常用定理给出了解释。在介绍了行列式与矩阵的定义与计算方法之后，本书给出了线性方程组的三种解法，即：克莱默法则、初等变换法、基础解系法。线性方程组的直接解法有顺序高斯消去法、列主元高斯消去法、追赶法（针对三对角方程组）、ＬＵ分解法等。线性方程组的迭代解法主要有雅可比迭代法、逐次超松弛迭代法、高斯－赛德尔迭代法等。非线性方程的迭代解法主要有二分法、牛顿法、阻尼牛顿法、离散牛顿法；非线性方程组的迭代解法主要有简单迭代法、牛顿法等。线性规划的解法主要有图解法、单纯形法等，本书给出了详细的举例演示。涉及到矿物加工建模的非线性规划解法主要有下降迭代法、单变量函数寻优的黄金分割法、单变量函数寻优的牛顿法、多变量函数的寻优方法（变量轮换法、多变量函数牛顿法）等。最小二乘法是微分法在多元函数极小值求解问题中的重要应用，本书给出了最小二乘法的应用过程、变换方法、通用定义等。拉格朗日乘数法是一种在特定限制条件下目标函数寻优的方法，在矿物加工的某些场景中可用于处理方法的推导。拟合模型是最为重要的经验模型之一，使用该模型的目的是建立自变量与因变量之间的数学关系，而不考虑矿物加工的具体过程。原始数据主要来源于两处，即在实际生产过程中通过测量获得的数据，与通过实验获取得到的数据。在获得原始数据信息后要进行数据预处理，保证数据质量。之后需要确定模型的形式。本书总结了常见的一元初等函数模型如下：指数函数、半对数函数、幂函数、Ｓ型函数。针对如何确定一元多项式模型的次数，本书也提供了具体方法。矿物加工领域中常用的曲线模型主要有以下四种：粒度特性曲线和可选性曲线、速率方程、分配曲线和效率曲线。回归分析在数据处理、拟合曲线和趋势预测等方面具有很高的应用价值，因此本书也讨论了一元线性／非线性回归和多元线性回归来实现模型参数估计的内容，并提供了应用举例。

另外，迭代法也可以被用于模型参数估计。为了提高建模效率，还可以开展正交实验回归分析。差值模型的作用同样不可忽视。本书介绍了拉格朗日差值、艾尔米特差值和样条差值及其应用。其中，艾尔米特差值可以保证差值函数具有一定的光滑程度，与样条差值相比，其差值条件并不苛刻，且计算更加灵活。重选是目前最主要的煤炭分选手段之一。构成煤炭可选性曲线的原始数据是原煤密度信息，可用Ｈ－Ｒ曲线或Ｍ－曲线来表示。由于Ｈ－Ｒ曲线普及时间早，且数据查阅较为简单，因此比Ｍ－曲线应用更为广泛。分配曲线数学模型可以在矿物加工领域被用于重选产物预测等方面。本书给出了分配曲线正态分布模型的建立与近似计算、分配曲线的拟合模型、分配曲线的直线化模型、差值模型的构造方法，并对通用分配曲线中分割点、短路流、分选效率、修正分配函数的概念进行了解释。在生产过程中，理论的分选指标也会被经过一系列处理转化为实际的分选指标。实际可选性曲线数学模型的构建可以参考以下步骤：第一，由原煤浮沉数据和分配曲线模型共同得出不同分选密度下精煤的灰分与产率；第二，计算不同分选密度下的多个表格数据，根据表格数据算出入料的密度信息；第三，建立亨利可选性曲线数学模型。重选的预测主要指的是基于分选密度的预测和基于精煤灰分的预测。其中，基于精煤灰分的预测可以使用二分法或逐步搜索法。在重选优化中，最大精煤产率的计算可以采用以下方法：等基元灰分法、搜索法、非线性规划法和穷举法。浮选模型可以分为四种，即概率模型、动力学模型、总体平衡模型和经验模型。

其中，概率模型中最具代表性的是舒曼概率模型和凯索尔概率模型；动力学模型包括了多相模型、两相模型和单相模型。本书详细介绍了几种常用的浮选模型。在单相浮选动力学模型的相关内容中给出了浮选速率公式的确定、浮选回路的模拟。在浮选经验模型的相关内容中列举了回归分析模型、浮选混合模型、浮选实际可选性曲线几种案例。在矿物加工过程中，粉碎主要是为了使矿物粒度进一步变小，同时改变其共生状态。因此，粉碎过程的数学模型包括了矿物解离数学模型和粒度减小数学模型。本书主要讨论了粒度减小数学模型。基本的粒度减小数学模型主要有以下四类：矩阵模型、理想混合模型、动力学模型和总体平衡模型。其中，矩阵模型是将粉碎过程中前一次的输出视为后一次的输入，且每个事件作为独立的计算单元，最后以矩阵的形式来计算产物的粒度构成。本书给出了矩阵模型的建立方法以及具体应用。解离数学模型的作用是预测矿物解离产物。比较有代表性的单体解离数学模型有高登单体解离数学模型和Ｃ．Ｓ．Ｈｓｉｎ单体解离数学模型。在筛选和分级数学模型的相关内容中，本书重点介绍了构建粒度数学模型中的粒度特性曲线与粒度分布函数，之后明确了筛分数学模型的构造目的，给出了振动筛数学模型和概率筛数学模型的构造方法。分级过程中较为常用的设备是根据离心原理设计出来的水力旋流器。本书给出了处理量和分离粒度的理论数学模型。矿物加工流程计算需要倚靠相关的软件系统来实现。为此，本书介绍了两种较为常见的矿物加工流程计算软件：国内的“选煤优化软件包”与国外的“ＭｏｄＳｉｍ”。选煤优化软件包采用Ｂ／Ｓ架构，包含了系统管理、原煤质量预测与优化、数据管理与维护、工艺系统和产品预测优化、分选效果诊断预测与优化、配煤分析优化几个主要功能模块，也可实现针对用户需求的定制开发。其中，原煤质量预测与优化模块又具备如下几个子功能：原煤可选性曲线评价与拟合、校正煤炭密度组成、原煤混合、原煤配煤优化和煤炭发热量预测等。优化软件包内采用的算法主要涵盖了以下几个方面的应用：原煤可选性曲线的模拟、分配曲线的模拟、重选分选的效果评定、选煤工艺流程预测、重选效果预测、煤炭发热量预测、最佳配煤方案确定等。

本书也给出了选煤优化软件包的两个应用举例，即灰分最佳配合方案预测、跳汰和重介质分选效果对比。ＭｏｄＳｉｍ作为一款选矿厂模拟软件得到了业内的广泛应用。该软件采用模块化设计思路，可以较好的满足用户的操作需求。本书从基本情况、软件界面、文档组织、模拟计算步骤、约定单元作业模块等几个方面介绍了ＭｏｄＳｉｍ具备的功能，并同时指出，ＭｏｄＳｉｍ对单个作业的模拟可以参考以下步骤：第一，构造模块；第二，设置流程基本参数；第三，计算；第四，得出模拟结果。计算流体力学（Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｆｌｕｉｄ　Ｄｙｎａｍｉｃｓ，ＣＦＤ）的相关技术思想已在各个工程领域中得到了普及和推广。其工作步骤可以总结为以下四步：第一步，数学建模；第二步，建立数学模型计算方法的控制方程；第三步，编程运算；第四步，输出结果。流体流动的控制方程主要有以下几个，即：质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程、组分质量守恒方程。同时本书也给出了控制方程的通式、湍流的控制方程。计算流体力学的软件结构主要分为三块，分别是前处理器、求解器和后处理器。前处理器作为相关数据的输入端用于完成前处理；求解器用于控制方程组的求解；后处理器用于结果数据的输出与展示等。使用ＦＵＬＥＮＴ进行流动模拟需要遵循如下步骤：第一，创建网格模型与几何模型；第二，启动软件，导入模型；第三，检查网格模型；第四，选定求解器；第五，确定计算模型；第六，设置材料特性；第七，设置边界条件；第八，参数调优；第九，运行求解；第十，后处理；第十一，判定结果是否具备可用性。最后，本书提供了搅拌槽ＣＦＤ模拟、重介质旋流器ＣＦＤ模拟、浮选柱ＣＦＤ模拟与粉体表面改性机ＣＦＤ模拟的应用举例。《矿物加工数学模型》一书立足于矿物加工技术的最新发展方向，系统阐述了矿物加工数学模型的构建思想与实际应用，同时兼顾了矿业与数学的行业特色。该书内容丰富，详略得当，具有较强的实用性，可供高等院校相关专业师生作为学习参考，也可作为矿业加工领域相关工程技术人员的培训用书。

作者：李中杰 单位：焦作师范高等专科学校