[出处] 教育教学论坛_2022年第8期

[关键词] 类比式教学;大学数学;基础数学;应用数学

[基金项目] 2019年度华侨大学中央高校基本科研业务费专项资金资助“流体—粒子模型的一些数学问题”（ZQN-701）

[作者简介] 崔海波（1986—），男，河南林州人，理学博士，华侨大学数学科学学院副教授，主要从事偏微分方程研究。

[中图分类号] O175.24 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2022）08-0048-04[收稿日期] 2021-06-21

目前“大学数学”课程主要分为：基础数学和应用数学[1]。基础数学主要包含数学分析、高等代数、泛函分析、解析几何等;应用数学主要包含数学物理方程、概率论、数理统计和拓扑学等。大学数学的特点是教学内容繁多，概念抽象，逻辑性和技巧性强，学习时间相对集中，课时少节奏快，习题数量大。在“大学数学”教学中，学生对于数学能力的培养往往仅局限在逻辑和计算层面上，这导致了学生的学习始终缺乏实践和创新意识。因此教师在教学过程中应使用有效的教学方法和多样的教学形式，善于归纳总结，用已有的知识和已掌握的技能去解决新问题。类比法在课堂上能帮助教师在有限的时间内将旧的知识点完美地迁移到一个新的问题。尽管每门数学课程的内容、对象、解决方法和工具不同，如微积分体现的重要思想是局部线性化，概率论主要体现的是随机思想，解析几何主要体现数形结合等;但每一类课程的思维方式基本上是类似的。因此类比法在具有相同思维方式的课程上就能发挥其作用。另外，有一些数学对象和方法具有系统性和关联性，特别对于同一类数学课程，许多内容和方法是相通的;因此类比推理和归纳总结在数学教学中的作用是不可低估的。类比法是找出问题、探究问题、解决问题的关键，并且对提高教学效果是十分重要的，同时也是课程改革所倡导的，能够更好地帮助学生学习数学相关的知识。

一、类比式教学的基本概念

在“大学数学”教学中，类比法是根据两个或多个不同的数学对象在某些定义、特征、性质等方面相同或相似，而推测这些对象具备的其他特征或性质能否推广到另一对象上的推理方法[2]。考虑到把知识联系起来有利于能力和思维的培养，因此类比法可以引导学生分别从横向和纵向同时构造一张知识网，通过延伸扩展来完善数学知识体系。这个方法也可以称为构建知识网络法。构建知识网络法就是将某些具有共同属性的数学对象或比较密切的内容组成知识块进行综合运用的方法;因此类比式教学也可以理解成从一门或多门课程的知识网入手，不断引导学生对知识网络结构添加知识;根据学习的认知规律，由已知出发，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，类比学习未知的知识。应用类比教学法，能够提高学生的类比推导能力和分析能力，有利于学生对知识点的全面理解。总之使用类比法能够更好地帮助学生学习数学相关知识，形成系统全面的知识体系。

具体来说，类比式教学通过类比旧知识学习新知识，使得学生学习的内容相对“减少”，学习起来更加轻松，是培养学生创新意识的一种有效途径，同时通过类比，建立知识间的内在联系，使知识结构系统化和丰富化。因此在高校数学课程教学改革中，根据教学内容合理有效利用类比法，可以提高教学效果。通过运用类比式教学，学生可以轻松掌握新知识，教师可以轻松授课，缩小学生学习难度，促进数学课堂教学，引导学生去探索和发现问题。运用类比式教学能够拓展数学思维能力和创新能力，培养学生跨学科知识的学习及迁移能力，有利于高效的学习更多的数学知识，解决更多的数学问题。在教学过程中，教师要有意识地渗透类比的思想方法。

二、类比式教学在基础数学中的应用

类比法作为一种重要的教学方法，在大学数学基础学科的教学中被广泛使用。我们以数学分析和泛函分析两门基础学科为例来具体谈谈类比式教学的应用。在“大学数学”课程中，无不以数学分析为基础，以“泛函分析”为最难课程。很多应用数学的课程如“数学物理方程”“概率论与数理统计”等课程都以数学分析为基础，是它的延伸和深化，而它的基本概念、思想方法更是无处不在。因此，數学分析是学习高等数学课程的关键。数学分析主要内容包括一元函数微积分、多元函数微积分和级数，它们虽然是相互独立的，但也有密切的联系。类比法在一元函数的微积分与多元函数的微积分教学中起着很大的作用[3-5]。比如在讲解多元函数微积分的概念、定理和性质时，完全可以和一元函数的微积分进行类比，让学生触类旁通，事半功倍，从而提高数学学习的效率。具体地，对于一元函数的极限、导数、微分、不定积分、定积分，类比多元函数的极限、偏导数、微分、多重积分和曲线曲面积分等;对于极限、求导、积分、泛函以及线性算子的运算，加法运算和数乘运算具有相同的运算法则，这些在代数中也有类似的运算。而一元函数的反常积分，含参量的反常积分和级数又有密切的关系，特别是在收敛的各种判别法上有许多相通之处。因此，类比法在数学分析课程教学中起到了重要的作用。

泛函分析课程中的概念、定理和性质更多，而且都是非常抽象和复杂的教学内容。为了描述更大、更广空间之间的变化，反映事物之间的变化规律，我们需要引入距离空间、线性赋范空间、Banach空间、Hilbert空间和流形等空间[6]，也需要引入连续映射、线性泛函、线性算子和Fredholm算子等概念。这样才能抽象地将有限维空间上的线性变换推广成Banach空间上的线性算子。它们当中许多定理和性质与数学分析、代数等课程的概念也是可以相互类比的。具体地来说，学生学习有限维空间时，对概念和性质的理解可以结合直观性感受来理解。学习泛函分析时，无限维空间以及空间的抽象化，往往让学生感到束手无策，此时如果通过类比，把有限维空间的一些概念、定理和相关性质的形成，以数学分析、线性代数和几何中的理论为基础，从有限空间（点、收敛聚点、函数）和拓扑空间找出原型，引入新的观点（例如元素、紧性、算子），由有限维中的强收敛、紧理论，到无限维空间的弱收敛理论，对其加以推广并注意它们和无限维空间之间的异同，这可使教学效果达到事半功倍的效果。特别是对于一维实数的完备性理论、特征值和积分理论等，到泛函分析中的可分Banach空间紧性、谱理论、Hilbert空间理论等，有助于学生思考新的理论，了解新概念和方法。这就是数学分析、线性代数和几何概念的进化。在这个新的观点的导引下，推广空间、算子、紧性等概念思路就会更广阔和自然。因此，类比法的思想在泛函分析课程教学中也起到了重要的作用。

三、类比式教学在应用数学中的应用

类比法在大学数学应用学科中的使用也非常广泛。我们以数学物理方程这门应用课程为例来阐述类比式教学法在课堂上的应用。在实际生活和生产中，我们经常会碰到各种各样的偏微分方程（组），最常见的是按照方程的阶数分类，但经常需要考虑方程的本质特点即不变量，进行更加详细的分类，以得到各种类型偏微分方程的各自特点。这些分类与方程的特点有密切的关系，从而可以了解二阶方程之间的共性和差异。在偏微分方程教学的基础上，以二阶方程的分类为例来分析类比式教学。

考虑一个二阶线性偏微分方程[7，8]，一个自然而然的问题是，我们如何对二阶偏微分方程进行分类，分类的依据又是什么。在对方程进行分类之前，我们先回忆一下一般的二次曲线是如何分类的。对于平面二次曲线方程，在解析几何中二次曲线的几何形状是依据判别式的符号进行分类的。事实上，二次曲线之所以可以这样进行分类，主要是因为判别式的符号在可逆线性变换下具有不变性。如果我们任意选取一个可逆的线性变换，则二次曲线对应判别式的符号保持不变。

类似地，在教学中，我们仿照平面二次曲线分类的方法，寻找代数性质即不变量，对二阶方程作自变量变换，我们发现判别式Δ=b2-ac可以作为方程的一个不变量，从而可以使用Δ=b2-ac对二阶偏微分方程进行分类，具体结论如下。

结论一：在变量替换时，方程判别式的符号保持不变[7，8]。以下利用判别式的符号在可逆自变量变换下的不变性，对方程进行分类。在区域的每一点处，（1）当Δ>0时，称偏微分方程为双曲型偏微分方程，例如弦振动方程。（2）当Δ=0时，称偏微分方程为抛物型偏微分方程，例如一维热传导方程。（3）当Δ<0时，称偏微分方程为椭圆型偏微分方程，例如二维调和方程。

由于平面二次曲线的判别式都是常数，所以可以把平面二次曲线严格分类。但偏微分方程的判别式是函数，所以只能在某些点考虑它的符号。由函数连续性在一点严格的大于或小于零在该点的邻域也是如此，所以方程为双曲型或椭圆型总在一个邻域内也成立，但抛物型并不具有这种性质。所以可以定义在区域内方程的类型。该分类既类似于平面二次曲线的分类，又有不同特点。所以偏微分方程的分类更复杂一些。

对于二阶偏微分方程的分类，会出现混合或退化型方程，例如某些是双曲型和另外一些点是椭圆型的方程，称为混合型方程，双曲型+抛物型称为退化双曲型方程（可压缩Navier-Stokes方程组为典型的这一类方程），椭圆型+抛物型称为退化椭圆型方程（可压缩Navier-Stokes-Poisson方程组为典型的这一类方程）。当然也有椭圆型+抛物型+双曲型的既是混合型也是退化型（Tricomi方程为典型的这一类方程）。

总结：在二阶偏微分方程分类的教学中，我们类比二次曲线的分类方法，通过变量替换，寻找合适的不变量，从而可以看出结论的相似之处，这样学生就可以理解我们怎么选取不变量，为什么选取这样的不变量来进行分类，从而可以有效地理解一些复杂的问题。另外我们也要强调和二次曲线分类的不同点，这样对偏微分方程的多样性、复杂性有更好的理解，也对分析类课程之间的联系有一个掌握。

对于多个变量的偏微分方程情形，由线性代数中二次型的知识，类似于二阶常微分方程的特征方程，可以由特征曲面，特征方向，特征平面和特征锥面等概念。类似于第一部分两个自变量的情形，我们仍然寻找该方程的不变量。由线性代数矩阵的变换，存在非奇异线性变换，将特征二次型化成标准对角型。当特征值在某点处的λi（i=1，…，n）全是1或全是-1（特征二次型正定或负定），则称方程在该点为椭圆型偏微分方程;若在某点处中的λi一个是0，其余是1或是-1（特征二次型至少有一个零根），则称方程在该点为抛物型偏微分方程。若在某点处的λi一个是1其余是-1或者一个是-1其余是1（特征二次型既不是退化的，也不是正定或负定且n-1個同号），则称方程在该点为双曲型偏微分方程;若在某点处的λi全不为零，但取1或-1的个数超过一个，这时称方程在该点为超双曲型偏微分方程。上述分类并不完全，只包含了一部分特殊情况，其他的情况我们可以都归为杂类偏微分方程。类似于两个自变量的情形，我们可以得到在某个区域内为椭圆型，抛物型以及混合型的定义。

分类只和二阶偏微分方程的主部的系数（即二阶偏导数的系数）有关，与低阶项的系数无关。一般地，方程包含自变量个数越多，方程的特征值越复杂，分类情况也越多。所以对于其他情形，我们都把这些归为杂类偏微分方程。

课程学习中的n+1个变量的波动方程属于双曲型偏微分方程、n+1个变量的热传导方程属于抛物型偏微分方程、多个自变量Laplace方程属于椭圆型偏微分方程。

结语

对于多变量的偏微分方程，该分类方法和两个自变量的偏微分方程非常类似，只是这里换成了特征值的符号。我们可以让学生理解不变量的重要性，进而巩固线性代数和解析几何的知识，也对偏微分方程这门课程有整体的理解。另外不同于以前的知识，这里的分类更复杂，而且会涉及更复杂类型的微分方程。