凌智　张波

摘要：论文根据师范生对复合函数单调性教学的一个案例分析进行了分析，在此基础上，提出了师范院校应将案例分析设为必修课，同时重视数学基础课程。

关键词：案例分析；师范生；教学

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）37-0226-02

早在十多年前，普通高中课程标准[1]已经去掉了复合函数的单调性这一部分内容，但是在当前的高中数学课堂教学中，教师们仍然抓住这块内容不放。课堂讲，平时考。教师教得疲惫，学生学得糊涂。如果说是为了高考，其实近年来高考从来没有考过复合函数的内容。那么，教师们为什么坚持要教这部分内容呢？教育有其惯性，“教育者总是按照自己被教育的方式来教育别人。”数学教学一贯的高难度、高速度的传统使得我们的教师难以割舍复合函数单调性的教学。但我们认为，更深层次的原因在于教師不能理解为什么学生理解这部分内容存在困难，以至于在可能拔高的地方尽量拔高，无限制地加大技能训练的难度。这种现象在数学教学中普遍存在。作为未来教师，师范生的观点决定了他们即将开展的教学活动，也影响着我们后继的教学改革。为此，我们以这部分教学内容为载体，和大四经过实习之后的师范生一起探索复合函数单调性的教学。试图让师范生自己解析学生理解复合函数单调性所需要的知识基础，继而探究学生学习可能存在的认知障碍，从而避免在今后的数学教学中陷入“偏、难、怪、繁”的泥沼。我们采用的研究方法是微型调查以及基于个案分析的教学反思。

一、数据收集

（一）教师出示案例

该案例梗概如下：一位高二学生对于复合函数单调性的内容不懂。他向老师请教。老师耐心跟他讲解了题目的解答方法。最后帮他复习了课上得出的解题口诀，“增增得增，减减得增，减增得减”。结果，该生做作业的时候，又做错了。老师又给他讲了该题的做法，同时复习口诀。但是，该生在考试考到该类题目时，又做错了。老师问他怎么又做错。该生难过地说，“对不起老师，我又忘了”。

（二）教师给出三组讨论提纲

第一组，事实性问题。

（1）学生对什么知识的学生产生了障碍？（2）老师是如何进行讲解的？你认为老师的讲解有效吗？（3）你认为学生在老师的讲解下有没有真正理解复合函数的单调性？第二次老师的讲解与第一次的讲解有没有本质的不同？（4）学生在老师的第二次讲解下有没有理解函数的单调性？最终学生在测试中又做错了的原因是什么？

第二组，认知和学习问题。

（1）复合函数的数学本质是什么？（2）对于高中生来说，是否具有学习复合函数的知识基础与认知水平？（3）学生在学习过程中产生障碍的原因有哪些？哪些与教师的教学有关？

第三组，教材及教学问题。

（1）数学课程标准中删去了复合函数，你认为基于何种理念删去了这部分知识？（2）你认为在中学阶段学习复合函数的单调性学生能真正理解吗？（3）如果你是老师，你有更好的方法让这位学生理解函数的单调性吗？你如何看待当前数学课堂教学中的高难度教学的现象？

（三）师范生根据上述讨论提纲，展开小组讨论，由各组选出代表在大班发言交流

（四）教师对师范生做出的交流讨论结果进行数据分析和整理

二、分析

1.师范生对于讨论提纲中事实性问题的回答几乎一致。他们普遍认为，教师的两次讲解没有本质的不同，该生始终不能很好地掌握和理解复合函数单调性。该生做题频频出错的原因在于，他仅仅死记硬背口诀，而未能真正明白口诀的含义。

2.师范生普遍对于提纲中的学生认知障碍问题存在较大困难，不能逐层分析出学生学习难点。在教师的引导下，通过画任务蓝图的方式，师范生认识到学习复合函数的知识基础。（1）能够准确地判断复合函数的定义区间；（2）能够从本质上理解函数单调性的含义；（3）能够熟练地把复合函数分解为以前学过的简单函数；（4）复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础。教师的讲解反复强调做题目的操作步骤和流程，始终停留在工具性理解的水平[2]上，所以，学生难以理解复合函数单调性的数学本质。

3.师范生对于教材和教学问题的回答，在理论大方向上是正确的，但在教学设计的具体处理上存在较大缺陷。他们一致认为，课程标准去掉这部分内容的原因在于其内容结构复杂，认知水平颇高。如果进行教学设计，必须假设教学对象的认知水平和知识基础水平。教学，必须以学生的认知为前提。

三、建议

1.将案例分析课[3]列为师范生的必修课程。在教师的专业成长中，实践加反思是一条公认的渠道。但师范生无论教学实践方面还是在理论基础方面都存在缺陷，如何提高师范生的专业水平是一大问题。笔者认为，开设案例分析课程会是比较好的解决途径。如上，通过案例分析，师范生深刻认识到，在高中阶段进行复合函数单调性教学的困难所在，这使得他们在将来的教学中不会一味盲从。事实上，笔者多年来的教学实验也验证了这一点[4]。在教学中利用下图中的教学模式进行教学。

2.继续重视师范生数学基础课的开设。对内容的深刻理解是教学的前提，无论何时，教什么比怎么教更重要。数学基础课的作用在于提升数学类师范生对基本数学概念的理解，从而能从更高处对内容做深层解析。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2016.

[2]马复.试论数学理解的两种类型[J].数学教育学报，2001，10（3）：50-53.

[3]杨彦军，童慧.基于“课例研究”的教师教学智慧发展研究[J].电化教育研究，2014，35（11）：95-101.

[4]张波，季素月.高师院校开设数学教育个案分析课程的思考与实践[J].数学教育学报，2009，18（1）：59-62.