[出处] 教育教学论坛_2022年第6期

王沁 唐家银 赵春明

[关键词] 泊松过程；案例教学法；实验教学法

[基金项目] 2021—2023年四川省高等教育教学改革项目（JG2021-261）；2020—2022年度中国交通教育研究会交通教育科学研究课题项目（JTYB20-77）；2021年度西南交通大学本科教育教学研究与改革项目（2103113）

[作者简介] 王 沁（1973—），女，四川夹江人，博士，西南交通大学数学学院副教授，主要从事应用统计和统计学教育、随机过程教学研究。

[中图分类号] G642.4 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2022）06-0121-04 [收稿日期] 2021-06-11

引言

“随机过程”是应用数学、统计专业学生的一门最重要的专业基础课，也是交通运输、机械工程、电子信息等工科专业的基础数学课，该课程综合性强、难度大、内容抽象，公式较多，理论推导有一定深度。无论对于研究生还是本科生来说，要学好这门课程，不仅需要概率论、数理统计等方面的基礎知识，而且还需要具有高等数学方面的基础知识，所以此门课程令很多学生感到枯燥头疼，对学好“随机过程”这门课的信心不足。

泊松过程是随机过程中最重要的一类过程，被称为随机过程的基石，在整个“随机过程”课程的教学课时中占了40%的比例。而且泊松过程在经济、金融、交通运输等多方面都具有广泛的应用。掌握好泊松过程的基本知识、基本定理和知识点之间的层次关系，有利于触类旁通学好马尔科夫过程、平稳过程等随机过程，有利于培养学生随机数学意识，并以泊松过程的基本知识、基本定理为基础开展一些拓展性的研究。鉴于此，本文结合教学改革的要求和教学实践经验，以及学生在学习泊松过程中表现出的不足，探讨案例教学法和实验教学法在泊松过程的应用和实践，从而提高学生的学习兴趣，促进学生能够较快较好地掌握泊松过程的所有知识点，并在实践中灵活准确的应用，以期抛砖引玉，推动本专业教学改革的发展与创新。

一、原有教学环节概况

在传统教学实践中，大多数教师通常围绕泊松过程的定义、泊松过程的分布及有关概率的求法、泊松过程的数字特征、泊松过程相伴的等待过程的分布、两质点到达时间间隔的分布函数，以及泊松过程的叠加、泊松过程的分解、复合泊松过程和非齐次泊松过程四种泊松过程的扩展来展开教学。因此，由概念入手，围绕定理、性质的证明来层层递进展开，并组织学生进行各类计算的方式，看起来符合学生的思维特征，具有逻辑上的合理性，但由于基本概念较多，内容抽象，数学推导较多，这些抽象的定义、严谨的推导证明，对大多数学生来说，往往难以深入理解和掌握。在此过程中，大多是以教师的讲解为主，学生更多的被“灌输”泊松过程的相关知识，而不是带着问题或目的学习，必然导致学生学习积极性不高、学习效果较差的结果。不光教师教得累，学生听得更累。这就需要对课堂教学结构进行不断更新，积极探索“以学习者为中心”“以案例教学为驱动”的教学模式。

在传统泊松过程的教学中，基本不设计实验环节，大多通过课前预习、课堂讲授、课后作业三大环节来展开教学。即在课程开始阶段，要求学生复习概率论知识、复习上一节课所学知识点；在课程讲解相应的阶段，要求学生认真听课，做好笔记；在课程结束阶段，要求学生做完上一节课的作业，整理笔记。通过三大环节加深学生对抽象定义和理论知识的理解，但由于概率论知识的遗忘，泊松过程的概念、定理的抽象性，以及知识点较多，作业题目的局限性，学生往往觉得泊松过程难学，“随机过程随机过”，使学生学习随机过程的积极性深受打击，这不仅不利于激发学生对泊松过程的学习兴趣，也大大限制了学生学习相关随机过程学科知识的积极性和有效性，影响了课程的教学质量。需要积极探索“以课堂内容实验为中心”“以个性化实验为驱动”“以综合性实验为引导”的教学模式[1-5]，通过实验教学法使学生有效掌握泊松过程的知识，并将所学的知识应用于实践。

二、案例教学改革思路

根据泊松过程特点，围绕泊松过程这一章节的课程教学目标和核心知识点融入案例，以案例教学法驱动泊松过程的课程教学改革，具体思路如下。

（一）由生活中常见的计数过程案例入手

在现实生活中，有许多“计数”的案例，比如，自2020年1月23日武汉封城以来，我国新型冠状病毒感染的肺炎累计确诊人数，当日新型冠状病毒感染的肺炎确诊人数，当日新型冠状病毒感染的肺炎疑似病例数，武汉封城以来我国新型冠状病毒感染的肺炎累计死亡人数等。又比如，自2018年1月1日以来，到达北京西站的乘客人数，北京西站每天客流量的变化，北京西站每天进站总人数，北京西站每天进站的出租车数，北京西站乘务员每天接警次数，自2018年1月1日以来，北京西站累计出站人数等，引导学生从生活中常见的“计数”案例入手，收集相关数据，理清以累计为基础的随机过程才是计数过程，理顺如何将非累积“计数”转化为以累计为基础的计数过程，并引导学生在“计数”的案例中记录随机事件第i次发生时间，学会用充分小的时间段来分析计数过程的特征，从而清楚认识到泊松过程是计数过程中最特别、最重要的一类，将抽象的定义与生活中的案例结合。

（二）从关系入手融入案例

围绕指数分布与埃尔朗分布的关系，二项分布与泊松分布的关系，指数分布与泊松过程的关系，泊松分布与泊松过程的关系，泊松过程的可加性，融入案例，理解泊松过程的属性；围绕条件分布与条件期望的关系，数字特征与特征函数的关系，一维分布函数与多维分布函数的关系，分布函数与特征函数的关系，融入案例，层次递进地掌握泊松过程的本质特征；围绕泊松过程与更新过程的关系，泊松过程与非齐次泊松过程的关系，融入案例，从一般的计数过程到齐次泊松过程，再到非齐次泊松过程，再到更新过程，形成整个计数过程的知识框架结构；围绕泊松过程与马尔科夫过程的关系，泊松过程与平稳过程的关系，将泊松过程的马氏性，潜在平稳性融入案例，从一般的计数过程到齐次泊松过程，再到马尔科夫过程，再到平稳过程，形成整个随机过程的知识框架结构；拓展一维泊松过程到二维泊松过程，拓展泊松过程到更新过程，并理清一维泊松过程和二维泊松过程关系，泊松过程和更新过程的关系，形成系统的关于泊松过程的知识网络结构。围绕随机过程的均方微积分与泊松过程的随机微积分的关系，围绕泊松过程的随机微积分与伊藤积分的关系，从一般均方微积分，过渡到随机微积分，形成用随机微分方程方法探讨随机过程特征的知识脉络。

（三）从相对复杂案例入手

在现实生活中，我们可以记录从A入口进入商场的人数，记录从B入口进入商场的人数，同时也可以记录进入商店的总人数，购物的总人数，还可以记录到女士服饰、儿童用品等不同商业区域的人数，还可以分析比较上下午不同时段进入商店人数的变化，分析各种商品销售的零售额，这样一个复杂的案例，就可能涉及非齐次泊松过程、泊松過程的叠加、泊松过程的分解，以及复合泊松过程等。这样的复杂案例在现实生活中比较常见，比如，记录从早晨8：00开始手机累计收到的呼叫次数，呼叫的时长、呼叫的费用、呼叫人的性别等；记录从早晨9：30开市股票市场中累计买进或卖出股票的次数，累计成交金额等；这样一来，将泊松过程的扩展融入实例，围绕泊松过程的本质特征展开了整个泊松过程知识体系的教学。

（四）从问题入手融入案例

在课堂教学中选取教学难点和教学重点时，以学生常常遇到的某个问题为切入点，比如，复合泊松过程在何种情况下与泊松过程的分解等价，复合泊松过程在何种情况下与齐次泊松过程等价，泊松过程的独立增量性是否是泊松过程最本质的特征，两个相互独立的泊松过程之差是否可以看作复合泊松过程，泊松过程的均分积分过程是否具有独立增量性特征，如何将泊松过程转化为平稳过程等，以抛砖引玉，让学生运用所学知识，通过查阅资料和课堂讨论，思考解决问题，使得泊松过程的扩展紧紧围绕泊松过程的内在特征展开，从而掌握整个泊松过程的知识体系。

围绕四个维度的案例教学，形成由一般计数过程到特殊计数过程泊松过程，由泊松过程到特殊的更新过程、马尔科夫过程、平稳过程，由泊松过程到泊松过程叠加、泊松过程分解、复合泊松过程等泊松过程的扩展，又由泊松过程的扩展（泊松过程叠加、泊松过程的分解、复合泊松过程、非齐次的泊松过程）再回到一般的泊松过程的逻辑过程，使得泊松过程的知识体系立体化，使得泊松过程、马尔科夫过程、平稳过程融合在一起，而不是独立地存在随机过程课程教学的各个章节中，从而使学生扎实地掌握基础理论知识，形成系统深入的专业知识，培养学生随机数学的思维能力。

三、实验教学内容的项目设计

针对泊松过程现有教学中实验教学环节的缺失，根据教学创新思路，设计课堂内容实验、个性化实验和综合性实验，从而使学生弄清泊松过程的本质，掌握相关定理，掌握泊松过程的特点，更好地引导学生解决实际问题。实验项目设计说明如下。

（一）课堂内容实验设计

课堂内容实验设计是针对泊松过程的基本知识和基本定理，教师确定并设计题目，要求所有学生都需要掌握和完成的实验项目，包括泊松过程的蒙特卡洛模拟，泊松过程数字特征的验证、泊松过程的泊松强度的估计、泊松过程独立增量性的验证、泊松过程叠加的实现、泊松过程分解的实现、泊松过程的构成和检验、复合泊松过程的蒙特卡洛模拟、非齐次泊松过程的蒙特卡洛模拟等，这样一来使教学过程对学生始终有一种吸引力，使学生享受到学习的乐趣，有利于使抽象、烦琐、复杂的定理得到直观的展示，有利于泊松过程知识点之间的层次关系形象直观地呈现，激发学生学习兴趣和求知欲望，从而使学生掌握泊松过程的理论和思想，以及相关的定理。

课堂内容实验板块，鼓励学生采用不同的软件，比如R软件、Python软件、EViews软件等，来完成同一实验内容，这样一来避免了学生的抄袭，也可以引导学生掌握不同类型统计软件，了解不同软件在泊松过程上的适用度，从而让学生借助软件的使用，较为便捷地学习泊松过程的相关知识点[6，7]。

（二）个性化实验设计

个性化实验设计是指在教师的引导下，学生团队独立完成的实验项目，比如，物料订单的规划，道路交通信号灯的设计，交通事故预测，齐次泊松过程与复合泊松过程在保险业风险管理中的应用，泊松过程在证券投资分析中的应用，泊松过程在供应链中的应用，服务系统顾客到达的非齐次泊松过程仿真等，围绕现实生活中的泊松过程案例，完成个性化实验的设计目的、实验内容和系统性的报告，这样一来有利于学生弄清泊松过程的本质，有利于激发学习随机过程的兴趣，培养随机数学的思想。

（三）综合性实验设计

在综合性实验上，要求学生跨章节，将泊松过程与马尔科夫过程、与平稳过程等随机过程的知识融合在一起进行实验内容设计。比如，钢琴销售的存贮策略问题，一个星期内累计购买钢琴的人数是一个泊松过程，同时根据一个星期销售量设置进货量的策略是一个马尔科夫过程，将泊松过程与马尔科夫过程融合在一起；再比如，基于非齐次泊松过程及其参数化模型用于可靠性工程，基于复合泊松过程的某公司经济状况的分析，排队论和泊松过程在小区物业管理中的应用，一维泊松过程和二维泊松过程在金融风险管理中的应用，马氏调节泊松过程在系统可靠性分析中的应用，泊松过程和维纳过程共同驱动的系统稳定性分析等，这样一来了解泊松过程在物理学、地质学、生物学、金融、交通运输和管理科学等领域中的广泛的应用，激发学生的兴趣、拓宽学生的视野，培养学生综合运用泊松过程、平稳过程、马尔科夫过程等随机过程分析问题和解决问题的能力，发挥学生的自主能力，综合运用多学科知识，理论与实践相融合，培养创新精神与创新能力。

结语

泊松过程是“随机过程”课程中最重要的一个教学章节，本文主要针对在泊松过程的教学过程中如何结合案例教学法和实验教学法进行教学设计，作了简单的探讨。首先通过实际生活中的案例引入计数过程，再拓展到泊松过程一般性的定义，然后通过泊松过程、等待时间过程、时间间隔过程之间的关系，点明泊松过程的分布和本质特征，最后通过泊松过程的扩展，掌握泊松过程各个层面的知识点。这种由一般到特殊，再由特殊到一般的教学方式，同时由具体案例引入得到抽象公式，既能避免公式推导、定理证明的繁杂和枯燥，又遵循了思维发展规律，由浅入深地帮助学生较为轻松地掌握泊松过程。在实验教学设计上，以课堂内容实验、个性化实验、综合性实验为载体，整合理论知识和实践知识，探索“理实一体”的教学模式，不仅可以消除学生“枯燥”学习后“没有用武之地”的想法，更能让学生产生学习的动力，积极主动地学习“随机过程”课程，培养学生分析和解决问题的能力，潜在培养学生的创新精神与创新能力。