原亚南 尹颢 张作启

[摘 要] 近些年来，“分析力学”课程在大学工科院系的开课范围越来越大，但是鲜见以“分析力学”课程作为教学改革对象进行的研究。运用对比教学模式下的多层次理论，结合“分析力学”的课程特点，针对课程理论知识晦涩、内容体系与理论力学相关度高及应用程度低等问题，提出了教学实施方案。方案采用三种课堂对比的形式，通过联想对比的方式加深学生对知识点的理解，培养学生分析、评价及质疑的能力，从而达到培养创新人才的目的。

[关键词] 分析力学;对比课堂;创新能力;质疑能力

[作者简介] 原亞南（1989—），女，河南濮阳人，博士，武汉大学土木建筑工程学院工程力学系讲师，主要从事复合材料力学研究;尹 颢（1985—），男，湖北武汉人，博士，武汉大学土木建筑工程学院工程力学系副教授，副系主任（通信作者），主要从事相变固体力学研究;张作启（1982—），男，山东曹县人，博士，武汉大学土木建筑工程学院工程力学系教授，系主任（通信作者），主要从事生物力学与仿生研究。

[中图分类号] O316   [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2021）21-0121-04   [收稿日期] 2020-10-25

近些年来，“分析力学”课程在大学工科院系的开课范围越来越大。然而，从现有教学课堂的探讨成果来看，较少看到以“分析力学”课程作为教学改革的对象进行的研究。所谓的经典力学是指创立于1687年的牛顿力学、创立于1788年的拉格朗日力学，以及创立于1834—1835年的哈密顿力学。其中，“理论力学”主要是讲授以牛顿力学为基本框架的静力学和动力学的课程。牛顿力学着重分析位移、速度、加速度及力等矢量，故称为矢量力学。与之相对的是由拉格朗日力学和哈密顿力学组成的分析力学[1-3]。在拉格朗日的《分析力学》的经典著作中，没有涉及一幅图，自始至终都采用了解析的方法[4]。分析力学的特征是以普遍原理为基础，利用标量形式的广义坐标来取代矢量力学的矢径[5]。

根据笔者前期调查结果，在初次接触“分析力学”课程时，超过70%的学生认为解析公式太多，难度很大（如图1所示）。因此，“分析力学”课堂教学面临的一个非常大的困难和挑战是如何在满是解析表达形式的理论知识讲授的课堂中提高学生的兴趣和专注力。

基于对比教学模式下的多层次理论，结合“分析力学”的课程特点，针对本课程中的理论知识晦涩、内容体系与理论力学相关度高及应用程度低等问题提出了教学实施方案。该方案通过采用三种对比形式，突出了在课堂上通过联想对比的方式加深学生对知识点的理解和掌握，培养学生分析、评价及质疑的能力，从而达到培养创新人才的目的。

一、牛顿力学与分析力学的对比讲授

由于大部分院校在“分析力学”课程讲授前，学生已经学习了“理论力学”（大部分内容讲授的是牛顿力学），因此，在学习“分析力学”课程时，同学们会有如下疑问：既然牛顿力学和分析力学都是研究质点和刚体的运动方程，我们已经学习了牛顿力学，为什么还要学习分析力学？这个问题笔者在第一次给学生上“分析力学”课程的时候就被问过。笔者在认真反思这个问题后最初的想法是，既然学生已经了解和熟悉了牛顿力学的理论知识，就没必要花费宝贵的课时来重复提及了。现在回过头细细想来，当初的想法或许正是引起学生疑问的根本源头。或许笔者要做的不是去回避在“分析力学”课上讲授牛顿力学，恰恰相反，应该直面这二者的区别，让同学们“知其然”，并“知其所以然”，掌握牛顿力学和分析力学的异同，并理解学习分析力学的必要性和重要性。那么，在课程最开始，笔者以图2[6]来开始“分析力学”这门课程。

图2很好地总结了从牛顿力学开始到拉格朗日力学最后到哈密顿力学发展的完整历程。此外，牛顿力学的发展主要服务于研究运动力学，应用包括但不限于有心力场中的二体运动、非惯性系下的运动、刚体运动、非线性动力学和混沌、生命力学及连续介质力学。而拉格朗日力学从变分法和达朗贝尔方程演变而来，通过勒让德变换和哈密顿原理发展成为哈密顿力学。而哈密顿力学为后来的量子力学、相对论、统计力学等提供了理论基础[7]。相对于牛顿力学，分析力学方法对其他如量子力学、相对论等影响更加深远。通过对比讲解牛顿力学和分析力学，不仅让学生站在更高的角度审视学习分析力学的必要性，还能鼓励学生自主探索基于分析力学方法衍生出的如量子力学等新的领域，激发他们的科研兴趣。

二、拉格朗日力学和哈密顿力学的对比讲授

在解决了学生“已经学习了牛顿力学为什么还要学习分析力学”的疑问后，之后的课程学习也并非一帆风顺。在学习完拉格朗日力学进入哈密顿力学的学习时，学生还会有新的疑问：既然很多运动方程明明通过拉格朗日第二类方程就能很容易地求解，那为什么还要学习哈密顿原理，费力求解哈密顿作用量呢？可见，即使在课堂上没有给学生灌输对比教学的模式，学生自己也会对以往的知识点进行对比，总是选取最容易理解、最好求解的途径来解题。事实上，在课堂上讲述的很多例子确实会有多种求解方式，也确实有一些明明用拉格朗日第二方程来求解很容易，却仍然用哈密顿原理来求解的例子。要想打消学生的疑虑，笔者仍然采取对比讲授模式，将拉格朗日力学和哈密顿力学对比讲授。要想讲清楚它们的本质区别和联系，应该从表1[8]的角度来着手讲述。

表1非常清楚地阐述了拉格朗日力学和哈密顿力学的区别，不仅体现在对应的空间和几何上，还体现在方程类型上[9]。

拉格朗日力学的f个二阶微分方程组为

■■-■=Q′■（k=1，2，…，f）

而哈密顿力学的方程类型是2f个一阶微分方程组为

■■=■■■=-■ （k=1，2，…，f）

哈密顿正则方程为微分方程的求解带来了很大便利。

综合来看，哈密顿正则方程和拉格朗日方程是等价的。笔者向学生提出一个问题：“拉格朗日力学和哈密顿力学是完全等价的，这两种力学谁更基本？”在某种意义上，拉格朗日力学更基本，因为它基于变分原理，并且它可以以最直接的方式推广到广义相对论的理论框架中;在另外一种意义上，哈密顿力学则更基本，因为它以能量为基本物理单元，并且哈密顿力学可以直接与量子力学进行关联。通过这个问题的讨论，不仅可以鼓励学生自己去思考分析力学中拉格朗日力学和哈密顿力学两大力学体系的本质区别，还给学生普及了两种力学对后来的广义相对论和量子力学的支撑作用。这样会使学生对分析力学有更加清晰的认识。

三、哈密顿的光学-力学对比讲授

将经典力学中的哈密顿原理与几何光学进行类比讲授的目的是凸显最小作用量原理的重要性。打开朗道教程的《力学》[ 10 ]《场论》和费曼的《费曼物理学讲义》[ 11 ]，均是以最小作用量原理作为主线，这也凸显出了最小作用量原理是目前描述物理定律中最简单的形式。最小作用量原理基于能量泛函变分，由于能量是标量，具有简单的可加性。在“分析力学”课堂上对比讲搜哈密顿光学与力学的目的是要让学生了解最小作用量原理应用广泛，不仅可以解决系统复杂的运动学问题，还可以通过类比思想去理解光学等问题。

为了使光学成为像拉格朗日所赋予力学那样的一门正规科学，哈密顿阐述了几何光学与经典力学的相似性，称为哈密顿的光学-力学类比，如表2所示。该类比表明，在力学中描述粒子的运动轨迹，就像在几何光学中描述光线的传播路径一样，垂直于轨道的等作用量曲面，就如同垂直于路径的传播时间的曲面。而描述粒子运动的最小作用量原理，就如同描述光线传播的费马原理。

同时该部分内容也有意提醒学生，力学或物理学很多定理是相同的。课堂上讲授的某一个原理，虽然只是讲授它的一个应用场景，事实上，在描述物理场景时，这个原理比如最小作用量原理可以应用到很多其他方面。启发学生要多思考，学习分析力学的目的不只是掌握某一具体的原理，求解某一具体的运动方程，真正需要获得的是如何去理解这个宇宙的运行模式，用什么样的视角和途径来解释这个世界。

四、教學效果反馈

笔者对2019秋季学期的“分析力学”课堂授课的学生（调查取样为28份）进行了教学效果的反馈情况收集整理，采用对比教学模式的“分析力学”课堂评价，53.57%的学生认为，通过对比教学模式进行分析力学讲授，较为有用、有针对性;21.43%的学生表示非常喜欢这种讲授模式，17.86%的学生觉得对比教学模式非常有用、有针对性。低于10%的学生觉得效果不明显，效果反馈情况如图3所示。此外，笔者还就“分析力学”课堂上重点对比分析力学和牛顿力学的区别是否有利于理解分析力学在力学发展中的重要地位的问题进行了调查，结果超过90%的学生认为通过对比讲授模式，确实有利于理解分析力学在力学发展中的里程碑式的作用，如图4所示。

五、结语

本文基于认知领域的思维模式，结合“分析力学”课程的固有特点和笔者自身的教学经验，针对学生认为“分析力学”理论知识晦涩、内容体系与理论力学相关度高、应用程度低等问题提出了教学解决方案，旨在从课堂对比模式角度出发，引导学生多思考、多总结，提高“分析力学”课堂的教学效果，为培养学生的创新思维和质疑能力提供些许经验。但由于“分析力学”课程理论难度大等原因，很多工科学院的“分析力学”课堂效果并不理想。遗憾的是，目前“分析力学”教育工作者对此进行的探讨还不够深入，希望通过本文可以引起“分析力学”教育者对课堂改革的更多关注。

参考文献

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[3]梅凤翔，罗绍凯，赵跃宇.中国分析力学40年[J].北京理工大学学报，1996（S1）：1-7.

[4]郭空明，朱应敏，王芳林.机械专业分析力学的教学内容和授课方法探讨[J].教育教学论坛，2016（11）：174-175.

[5]陈立群.关于分析力学的定义[J].力学与实践，2015，37（5）：634-635.

[6]赵亚溥.力学讲义[M].北京：科学出版社，2018.

[7]Fowles GR， Cassiday GL. Analytical mechanics： Belmont， CA： Thomson Brooks/Cole; 2005.

[8]梅凤翔，刘端，罗勇.高等分析力学[M].北京：北京理工大学出版社，1991.

[9]叶敏，肖龙翔.分析力学[M].天津：天津大学出版社，2001.

[10]朗道，栗弗席兹.力学[M].5版.李俊峰，译.北京：高等教育出版社，2007.

[11]Richard P. Feynman，Robert B. Leighton，Matthew Sands. The Feynman Lectures on Physics; Vol. I[J]. American Journal of Physics，1965，33（9）.

Discussion on the Classroom Teaching of Analytical Mechanics Based on Comparative Teaching Model

YUAN Ya-nan， YIN Hao， ZHANG Zuo-qi

（School of Civil Engineering， Wuhan University， Wuhan， Hubei 430072， China）

Abstract： In recent years， the scope of the Analytical Mechanics course is becoming larger and wider in the department of engineering in universities， but the research on the course as the object of teaching reform is not much. Based on the multi-level theory under comparative teaching model and the characteristics of Analytical Mechanics， this paper puts forward a teaching implementation plan for the problems of obscure theoretical knowledge， high correlation between content system and theoretical mechanics and low application degree. The scheme adopts three forms of comparative classroom， and cultivates students ability to analyze， evaluate and question by deepening students mastery and update of the knowledge points through the way of association comparison in class， so as to achieve the purpose of training innovative talents.

Key words： Analytical Mechanics; comparative classroom; innovation ability; questioning ability