杨文杰 郑前前

[摘 要] 合理利用线性代数中知识点之间的组织和依赖关系，可以提高学生学习效率及教师的教学质量，然而目前针对线性代数构建知识空间的研究甚少。针对本科生在线性代数学习中的问题，为教育评价提供了一种有效的科学方法，即将知识点与集合论中的元素建立对应关系，基于知识点间的组织和依赖，寻求知识点集合的最小支撑网，利用知识空间理论给出一种线性代数中快速自优化测试过程，使学生能够准确高效地对自己的知识结构、认知缺陷等更细节性内容有一个清晰明确的认识。最终测试结果可以为教师的因材施教提供理论指导，以达到全面了解学生学习状态的目的，同时学生还可以基于已有的测试结果实时掌握个人学习状况，并以此设计符合自己实际情况的学习方案。

[关键词]  知识空间理论;自适应测试;线性代数;矩阵

[基金项目] 2019年度许昌学院教育教学改革研究项目“依赖我校学习通平台的高等数学小班教学研究与实践”（XCU2019-ZZ-022）

[作者简介]  杨文杰（1984—），女，山西大同人，博士，许昌学院数理学院讲师（通信作者），主要人事分支与混沌研究;郑前前

（1988—），男，河南周口人，博士，许昌学院数理学院讲师，主要从事复杂网络动力学研究。

[中图分类号] TP18   [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2021）24-0185-04   [收稿日期] 2021-03-06

一、引言

线性代数（Linear Algeria）是数学的一个分支，已成为代数学科的一个重要方向，是高等院校经济类、管理类以及众多理工类专业的重要的基础课之一，它主要包括行列式、矩阵和向量等内容，主要用于解决线性代数关系的问题。为了满足数学的进一步发展，线性代数的应用也在不断地扩大。它不仅是训练学生数学思维方式的重要课程之一，而且是一些专业必修课的必要基础，是为培养适应四个现代化需要的本科层次的多类专业人员而设的一门公共必修课。本课程是学生后续一些专业必修课的基础，对后期的继续学习都具有至关重要的作用。线性代数主要包含行列式、矩阵、线性方程组、向量组，线性空间及线性变换等内容。它的理论内容不仅被用于数学的许多分支，而且在很多领域中都有着广泛的应用。然而一个很现实的问题是，大学新生通常具有中小学课程“填鸭式”教育的惯性思维，又由于大学的课程多而复杂，加之在教学实践过程中学时有限的情况下，学生想要充分理解线性代数中诸如逆序、行列式、矩阵等抽象概念，简直难于上天，并且考虑到学生的个体差异性，该文希望将教育领域中比较流行的知识空间理论应用到线性代数数学。

1983年，美国数学心理学家J.P.Doignon和J.C. Falmagne在知识空间和一类推测系统之间建立了一一对应关系，即将特定领域的知识概念化为一个问题集合。假设一个人在此领域的知识状态是该人所能够解决问题的子集，当所有知识状态的集合对并运算封闭时，称为知识空间。基于此，两位学者给出了一种有效评估知识的数学理论，知识空间理论（Knowledge Space Theory，簡称“KST”）[1]。KST理论为教育过程评价提供了一套合理有效的科学方案，同时也是一种提高学生整体知识掌握水平和搭设学生知识框架的理论。20世纪90年代，Koppen、Doignon开发了一种可通过交互式询问专家来构造知识空间的程序，由此产生的知识空间方法有助于为特定领域构建此类空间[2]。1993年Dowling给出了一种可用于根据专家的判断构建知识空间的基础的方法。以这种方式，可以改进文献[2]中依赖于专家的程序[3]。随后Albert提出了一套由问题系统导向搭设知识理论空间的方法[4，5]。2004年，我国学者傅骞等人利用知识空间扩展理论，从理论上搭建了新型教育资源平台。该平台使教育资源库为教师的教学服务的同时，还可为学生的自我学习、自我评价进行服务[6]。近来，Daniel与Stefano两位学者证明了KST的标准概率模型（例如基本本地独立模型（BLIM）和简单学习模型（SLM））可以表示为MPT模型的特定实例。在这种紧密联系的情况下，MPT方法可用于解决KST中的理论和实践问题[7]。然而学者们多是利用知识空间理论针对中小学生进行能力提升的研究[8]，或是基于知识空间理论进行图书馆阅读推广平台的建设[9]等，而针对本科生的学习效率或能力提升的研究还不多见，故本文将知识空间理论应用于本科线性代数的矩阵这一内容的学习中，以期能够对学生的矩阵这一部分内容的学习有所助益。

二、线性代数中的知识空间

针对线性代数的知识空间问题，本文根据KST理论，给出了一种线性代数中快速自优化测试过程。自优化过程需要基于学生的理论知识掌握程度自优化的选择下一步测试题目的难易程度，故学生的知识网络结构不仅可以由其最后的知识状态确定，而且学生的知识水平以及学生的认知能力缺陷还可以通过计算学生最后知识水平与知识空间之间的集合对称差进行确定。最终测试结果可以为教师的因材施教提供理论指导，以达到全面了解学习状态的目的，同时学生还可以基于已有的测试结果实时掌握个人学习状况，并以此设计符合自己实际情况的学习方案。

本文将对线性代数中矩阵这部分学习内容进行合理规划，以单个知识点的形式独立列出并进行现有课程掌握水平的测试。从独立知识点的方面研究KST理论，（Q，K）结构中Q为线性代数领域相关知识点组成的集合，K代表现有知识储备情况组成的集合，k■为具体知识点;假设Q为一个有限集合，则称K是其相应的知识空间。根据研究发现[ 10 ]，知识点元素之间的关系主要包括：框架组织、从属依赖;知识框架组织关系以目前使用书本的组织结构框架为准，而元素间的从属依赖关系内含有明显的知识学习先后关系，即某一个知识点是学习另外一个关于知识点的先决条件，故在知识点处理方面，本文主要使用从属依赖这一关系。

针对线性代数中矩阵这部分课程内容，本文采用苗宝军、史艳华编写，高等教育出版社出版的《线性代数（经济管理类）II》作为选定教材分析该教学知识内容，使用现有的知识结构并进一步构建不同层次的知识单元。矩阵这一知识域包含{矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵的初等变换，矩阵的秩，矩阵的逆，行列式}，各知识点关系图如图1所示，这里为方便起见依次用下列符号代替{a，b，c，e，f }。需要指出的是，它是按照教材的模块结构划分而来的，教材中每个模块、每个小节内容的安排都有一定的顺序，是不可随意调换的，这是基于先学知识是后学知识的必备知识这一事实而定的，后学知识必须以先学知识为基础。如：学b之前须先学习a，这正体现了“先学备用”原则。关于图中的“or”，即当学生掌握e时，已经掌握d，f，中的一项或两项。关于知识状态，即若知识状态中包括c，则b，a∈K;若e∈K，则d∈K或f∈K。删除不合理的知识状态组成一个完备知识空间，可得知识空间K={？覫，{a}，{b，a}，{c，b，a}，{d，c，b，a}，{e，d，c，b，a}，{f}，{e，f}，{a，f}，{b，a，f}，{c，b，a，f}，{d，c，b，a，f}，{a，b，c，d，e，f}}。

三、知识状态测试

知识掌握程度测试主要依据KST理论，主要目的是实时掌握学生目前已有的知识储备情况，整体思路如图2所示，描述情况如下。

首先基于不同专业教学大纲组建合适的试题库，根据知识元素组成知识网络结构框架，建立知识元素的集合空间。根据学生选择情况，提取相应元素;然后根据选题策略提取学生待测题目Q■;接着分析测试学生的正确率以确定学生目前的知识水平：若Q■回答情况良好，则保留Q■所对应的知识状态;若Q■回答情况低于设定情况，则删除K（Q■）相关的知识状态，并且进一步分析学生的知识水平以确定当前的知识状态空间;最后重复以上知识测试步骤至学生当且仅有一个知识状态，明确待测知识点元素掌握情况，测试结束。

为了保证待测知识元素的速度与效率，需要根据前项中的知识网络框架确定待测试题。同时实时调整系统综合知识状态及学生的正确率，保证测试顺利完整的进行。以知识元素e举例说明，其知识元素框架如图1所示，一般情况下，一个题目可能对应着一个或多个待测知识点，由知识元素之间的结构框架得到题目之间的层级关系，经与相关专家沟通研究可得如图3的题目框架关系，并以此确定不同题目正确率所对应的知识状态k（Q■）={a};k（Q■）={f};k（Q■）={b，a};k（Q■）={c，b，a};k（Q■）={d，c，b，a};k（Q■）={{e，d，c，b，a}，{e，f}}。

根据以上知识框架关系，本理论能够通过关于学生作答的测试正确率，剔除必要的知识状态，同时了解学生的知识认知框架。假如学生的初始知识状态为K，若学生答对Q■，则剔除不包含c的相应知识状态，同时得到新的知识状态为{{c，b，a}，{d，c，b，a}，{e，d，c，b，a}，{c，b，a，f}，{d，c，b，a，f}，{a，b，c，d，e，f}};若Q■正确，则更新后的知识状态是{{d，c，b，a}，{e，d，c，b，a}，{d，c，b，a，f}，{a，b，c，d，e，f}};若继续回答正确Q■，可得知识状态为{{d，c，b，a，f}，{a，b，c，d，e，f}};若继续回答正确Q■，最终得到唯一的知识状态{{a，b，c，d，e，f}}，完成相关测试，为后续的能力水平测试确定大概的测试范围。

四、结语

该项研究将线性代数中的矩阵这部分内容进行了科学合理的梳理，并删除不合理的知识状态得到一个知识空间，进一步由学校线性代数任课教师或权威专家依据学习目标组建试题库后，构建出一个由知识点之间的结构关系推导出的题目之间的层级关系，进而通过关于学生作答的测试反馈结果得到学生对矩阵这部分内容的掌握程度。从理论上讲，根据评估引擎得到学生的知识状态，预测学生对矩阵这部分内容的掌握程度是可能的，因为知识状态的定义即是一个包含学生掌握的所有问题的集合。

参考文献

[1]Doignon J. P.， Falmagne J. C. Spaces for the Assessment of Knowledge[J]. International Journal of Man-machine Studies， 1985， 23（2）： 175-196.

[2]Koppen M.， Doignon J.P. How to Build a Knowledge Space by Querying an Expert[J]. Journal of Mathematical Psychology， 1990， 34（3）： 311-331.

[3]Dowling C.E. Applying the Basis of a Knowledge Space for Controlling the Questioning of an Expert[J]. Journal of Mathematical Psychology， 1993， 37（1）： 21-48.

[4]Albert D. Knowledge Structures[M]. Springer： Berlin， Hei

delberg， 1994.

[5]Albert D.， Held T. Establishing Knowledge Spaces by Systematical Problem Construction[M]. Knowledge Structures. Springer， Berlin， Heidelberg， 1994： 81-115.

[6]傅騫，刘志波，陈良柱.基于扩展知识空间理论的新一代教育资源平台研究[J].电化教育研究，2006（4）：39-42.

[7]Daniel W. Representing Probabilistic Models of Knowledge Space Theory by Multinomial Processing Tree Models[J]. Journal of Mathematical Psychology， 2020， 96. doi： 10.1016/j.jmp.2020.102329.

[8]伍星.信息素養和知识空间视阈下青少年学习能力提升研究[J].四川图书馆学报，2019（6）：1-3.

[9]刘晓凤，刘海，王灵，等.基于知识空间的图书馆阅读推广平台的建设思考——以吉首大学图书馆学习共享空间为例[J].管理观察，2019（33）：70-71.

[10]童红霞，谢深泉.ICAI中知识点关系的研究[J].计算机工程与应用，2004（1）：77-78.

On the Key Learning Path of Linear Algebra Based on Knowledge Space Theory

YANG Wen-jie， ZHENG Qian-qian

（School of Science， Xuchang University， Xuchang， Henan 461000， China）

Abstract： Reasonable use of the organization and dependence between knowledge points in Linear Algebra can improve students learning efficiency and teachers teaching quality. However， there is little research on the construction of knowledge space in Linear Algebra. In this paper， we provide an adequate scientific method for education evaluation， the knowledge points， which establishes the corresponding relationship between the elements in the set theory. And we seek knowledge points set， the minimum supporting network based on knowledge points. Meanwhile， we give the Linear Algebra optimization test process using the idea of knowledge space， so as to let students have a clearer understanding of what they have learned， such as their knowledge structure and cognitive deficits. The final test results can provide theoretical guidance for teachers to teach students according to their aptitude to achieve a comprehensive understanding of their learning status. At the same time， students can also master their learning status in real time based on the current test results and design their learning plan according to their actual situation.

Key words： knowledge space theory; adaptive testing; Linear Algebra; Matrix