潘琪 冯宝 徐龙 李静 李欧迅

[摘 要] 新工科背景下传统工科课程的教学方法必须改进。“自动控制原理”是自动化专业的核心基础课，该课程理论性强，学习难度较大。介绍了以单摆模型为例讲解多个核心知识的实例教学过程，旨在阐述如何在教学设计过程中挑选优秀实例，将理论与实际应用紧密结合讲授。实例教学不仅能够让学生更好地掌握课程知识，还能提高学生利用理论知识解决实际问题的能力，激发学生对课程的兴趣，提高人才培养质量。

[关键词] 新工科;自动控制原理;实例教学;自动化;单摆

[基金项目] 2019年度廣西高等教育本科教学改革工程项目“新工科视域下地方院校自动化类专业工程创新人才培养模式研究与实践”（2019JGA337）;2019年度广西高等教育教学改革工程项目基金“‘新工科理念下工程管理本科专业创新人才OBE+CDIO培养模式的研究与实践”（2019JGA333）;2018年度桂林航天工业学院教育教学改革项目（2018JB02）

[作者简介] 潘 琪（1991—），男，湖北黄冈人，硕士，桂林航天工业学院电子信息与自动化学院专任教师，主要从事机器人运动规划方面的研究。

[中图分类号] G642.0   [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2021）25-0104-04   [收稿日期] 2020-10-30

一、引言

2017年，教育部高等教育司发布了《关于开展新工科研究与实践的通知》，希望各地高校开展新工科的研究和实践活动，从而深化工程教育改革，推进新工科的建设与发展。新工科建设对工程科技人才提出了更高要求，相比于传统的工科人才，新工科人才的定义为工程实践能力强、创新能力强、具备国际竞争力的高素质复合型人才[1]。为了更好地培养新工科应用型工程科技人才，不能完全沿用以前的工科教育模式，教学方法必须改进。

“自动控制原理”课程是自动化专业的核心基础课。自动控制技术在任何工程和科学领域都是必不可少的。在宇宙飞船、机器人系统、现代制造系统，以及包括温度、压力、湿度、流量在内的任何工业操作中，自动控制都是其重要的组成部分[2] （P1-2）。因此，“自动控制原理”也是测控、电气、机械、能源等工科专业的必修课程。该课程的特点是概念多、抽象，理论分析和数学计算比重大[3]，学习难度较大;所以，要特别注意教学方法的改进，否则会让学生认为是在学习一门数学课，无法从繁杂的推导中跳出，将理论与实践联系起来，丧失对课程的兴趣。因此，在授课过程中尤其要注意将理论与实际相结合，多结合生活生产中的实例讲解。同时要善于利用多媒体、仿真软件等工具，在课堂上将实例通过视频、动画、仿真的形式展现给学生。这样不仅能够让学生更好地掌握课程知识，还能提高学生利用理论知识解决实际问题的能力，激发学生对课程的兴趣。

二、课程的现状分析

我校自动化专业毕业生的就业区域主要分布在广西壮族自治区和珠三角地区，就业岗位相对集中在工业控制、装备与系统集成、电子信息等行业，这些行业需要的是能够把成熟的技术和理论应用到实际的生产、生活中的技术技能型人才。本课程是我校自动化相关专业最重要的专业基础课，在应用型人才培养中具有关键作用。

我专业依据应用型本科院校人才培养目标和学生的实际情况，多次研讨专业人才培养方案和教学计划，将自动控制原理的教学学时设置为80个学时;其中理论60学时，实验20学时，课时较多且实验课时所占比重大。选用的教材为程鹏主编，高等教育出版社出版的《自动控制原理》第二版。在授课内容上，主要讲述经典控制理论，阐述自动控制系统的基本概念和自动控制系统分析、设计、校正的基本方法，是进一步学习和掌握“现代控制理论”“计算机控制系统”“工业过程控制”等后续控制类课程的基础，在课程体系中占据核心地位。

“自动控制原理”课程内容中包含机械、电子、流体、热力等各类系统数学模型的推导，控制的本质是微分方程的求解和分析，使用的基本数学工具为拉普拉斯变换，所以涉及较多的高等数学、复变函数与积分变换、大学物理、电路分析等理论知识，理论推导繁杂，系统框图设计复杂。

“自动控制原理”教材中控制系统建模部分的内容非常重要，因为经典控制理论是基于模型的控制，必须先建立控制系统的数学模型，才能分析和控制系统。自动控制技术应用于各行各业，所以各类教材选取了来自不同领域的实际系统进行建模，例如RLC无源网络、m-K-f机械平移系统、他励直流电机等。这些实例大多比较陈旧，有的模型还比较复杂，学生掌握起来较为困难。经典控制理论研究的是传递函数模型，传统的理论教学及实验教学通常用传递函数来表示某个系统，基于传递函数表达式去设计、分析和校正系统，很少从某个实际系统出发去设计控制器、校正器，观察在实际系统上的控制效果，严重脱离工程实践。学生经常陷入复杂的理论推导中，兴致不高，难以体会到理论知识在实际中的应用，甚至认为这门课没有用处，课堂教学气氛不够活跃，难以保证授课质量。因此，结合优秀的实例讲授课程对提高上课质量非常重要。

三、“自动控制原理”实例教学实践

实例教学是以应用案例为教学素材，通过典型实例的讲解，使理论具体化，同时引导学生利用所学理论解析案例，使理论和实践有机结合，能快速提升学生解决实际问题能力的方法[4]。实例教学的重点是挑选优秀的实例。笔者认为，优秀的实例应该具备如下几个特征：（1）能充分说明知识点，这是使用实例教学法的目的，也是最基本要求;（2）难度不大，学生容易掌握，不会产生畏惧心理，愿意听，能听懂;（3）学生很感兴趣;（4）一个实例可用于多个知识点的讲解。

笔者在“控制系统的数学模型”一章的第一次课中结合单摆系统模型讲授了如下内容。

（一）控制系统微分方程的建立

动态系统的数学模型通常用微分方程描述。单摆系统的示意图如图1所示。

实际系统往往是很复杂的，在工程上为了寻求一种行之有效的方法，必须对问题进行简化，忽略一些次要因素，使其避免数学处理上的困难，又不影响分析系统的准确性[5] （P20-21）。对单摆模型来说，通常将摆球看成质点，忽略空气阻力，忽略摆线的质量和形变。将摆线拉开一个小的初始角度θ0，静止后松开，需求解摆线角度θ随时间变化的规律。

系统的输出是摆线的角度θ，无输入信号，初始状态为θ（0）=θ0，θ'（0）=θ0，这就是单摆系统的数学模型。

（二）线性定常系统

得到了各类系统的微分方程后，可以根据方程的形式对系统进行分类。线性定常微分方程所描述的线性定常系统在课程中占据重要地位，因为线性定常微分方程具有线性和时不变两个非常好的性质。

假设某系统是线性的，输入为r1（t）时输出为c1（t），输入为r2（t）时输出为c2（t）。那么，当输入为k·r1（t）时，输出为k·c1（t），这就是齐次性;当输入为r1（t）+r2（t）时，输出为c1（t）+c2（t），这就是可加性。笔者在课堂上讲解上述严格的数学定义后，发现有部分同学还未完全理解，于是举了个更加形象的例子：假设某人是个线性系统，他吃1千克的米饭增加体重0.1千克，吃1千克的鱼肉增加体重0.2千克;那么他吃5千克的米饭会增重0.5千克，这就是齐次性;他吃1千克米饭和1千克鱼肉做成的寿司就会增重0.3千克，这就是可加性;同时满足齐次性和可加性就是线性系统。讲解完这个例子后，几乎所有的学生都理解了线性性质的意义。讲完线性性质后，还要向学生强调它的优点，即同时有多个外作用信号加入时，可以分别进行研究，然后求其总的响应。同时，为了分析系统方便，根据叠加原理可以把信号分解为最简单的形式来研究，从而简化了系统的分析与设计[5] （P20-21）。

如果系统是时不变的，则它的特性不会随时间改变而改变。用数学语言描述就是，如果系统的输入为r（t），产生的输出为c（t），那么输入为时

r（t-t0），输出为c（t-t0）。也就是说，输入信号如果有时间延迟，输出信号也会产生相同的时间延迟。笔者在课堂上也给学生做了通俗的解释：如果某实验用的系统是时不变的，那么今天做这个实验和明天做实验得到的结果是完全一样的。

线性定常系统除了具有线性和时不变两个非常好的性质以外，微分方程求解还比较简单，有固定的步骤可以遵循。教材上列举的几个例子都是线性定常系统，让学生了解非线性系统微分方程的形式是有必要的。因为单摆模型的微分方程中有非线性项sinθ，所以单摆系统是典型的非线性系统。

（三）非线性微分方程的线性化

正因为线性定常微分方程具有良好的性质，在条件满足的情况下，可将非线性系统线性化以简化分析过程。教材上给出了线性化的理论推导，这部分内容不需要花太多时间，稍微讲解一下线性化的基本思想就可以了。教材上并没有非线性微分方程线性化的实例，而单摆系统的线性化过程则是非常典型的。

根据微积分的基础知识可知，当使用弧度制，θ？垲1时，有sinθ≈θ，正弦函数在原点附近的线性度非常好，例如当θ=0.1时，sinθ≈0.0998，误差小于0.02%。在课堂上可以借助软件画图演示（见图2），让学生有更形象的认识。

这是个典型的二阶线性定常微分方程。

（四）拉普拉斯变换法求解线性定常微分方程

线性定常微分方程使用拉普拉斯变换求解非常简便。拉普拉斯变换是自动控制原理课程中重要的数学工具，它的定义式是一个反常积分，而且性质多，教材的附录中花了13页的篇幅专门介绍拉普拉斯变换，不少学生对它比较畏惧。笔者基于学生的数学基础，在授课时采用“用到多少讲多少”的原则，没有花大量时间专门讲授拉普拉斯变换。在本次课中，首先介绍了拉普拉斯变换的定义式和拉普拉斯变换表，然后介绍了八个性质中最常用的线性性质和微分性质，微分性质只讲到了最常用的一阶微分和二阶微分的情况，只花了大概15分钟的课堂时间。接着便以单摆的线性微分方程模型为例，讲解拉普拉斯变换法求解线性定常微分方程的过程。

这是个正弦等幅振荡过程，即摆角的变化遵循简谐运动的规律。可以从求解微分方程的过程中发现，如果初始条件均为0，则微分方程的解也为0，也就是系统完全静止，由此可见系统初始条件的重要性，这对后续引入传递函数的概念是有帮助的。

这就是学生在中学阶段就学习过的单摆周期公式，即单摆的周期只和擺线的长度有关，和摆球的质量无关。

（五）总结

可以发现，单摆系统这个实例符合前面提到的优秀实例应该满足的条件：一个实例充分支撑了控制系统建模、非线性方程线性化、拉普拉斯变换求解线性定常微分方程等多个内容的讲解;模型虽是非线性的，但可以通过简单的数学知识将其线性化，而且线性化的精度非常高;得到输出的拉普拉斯变换表达式后，无须进行部分分式展开，通过查表法即得到时域中的解析表达式，微分方程求解过程足够简单;学生在中学阶段就学过单摆的周期表达式，但不知道如何得来，对它比较感兴趣。所以，单摆系统是非常优秀的实例。从课堂效果来看，学生表现出强烈的兴趣，课堂参与度比较高，气氛比较活跃，教学效果良好。

四、如何积累优秀的教学实例

（一）广泛涉猎各种材料

教材、论文、专著及网络材料都是教学实例和其他教学素材的重要来源。例如，对于相同的知识点，不同的教材可能会使用不同的实例，采取不同的表述方式，教师应该根据课时安排及学生的基础选择合适的实例与讲述方式。随着互联网技术的发展及信息化教学的普及，网络上各种与教学相关的文章、图片和视频资源越来越丰富，质量越来越高。如果教师在平时备课的过程中能够广泛涉猎各种来源的材料，会积累相当丰富的优秀实例和其他教学素材。

（二）加强教师的科研和工程实践

教师的科研水平和工程实践经历对教学效果起着重要的作用。有工程实践的教师对内容的理解与把握会更深刻，讲课时可信手拈来、游刃有余，显得生动自然，也很容易脱稿讲课，避免了单调的公式推导，从而强化了物理概念及理论应用[3]。例如，有电子学背景的教师可以结合运算放大器来讲授负反馈的有关概念;有信号处理背景的教师在讲解频率分析法时自然能够举出非常多生动的实例。学校或学院应该给长期讲授重要课程的教师创造科研环境或工程实践的机会。

（三）讲授相同课程的教师应加强交流

講授相同课程的教师应该经常交流，以知识点为基本的教学单元，分享优秀的实例，讲解在授课过程中好的与不好的实践，形成互帮互助、团结合作、研究学术、知识共享的和谐氛围。长此以往，必然会积累大量优秀的教学实例，非常有助于教师教学能力的提升，使学生掌握更多的知识和技能。

五、结语

本文阐述了以单摆系统模型为例讲解“自动控制原理”课程中多个知识点的过程，强调了实例教学的重要性，并分享了如何积累优秀实例的方法。精心挑选优秀的实例，采取实例教学法讲解，能增强学生的学习兴趣，改善课堂气氛，使学生能更好地掌握这门理论性较强的课程，提高学生将理论运用于实际的能力，可以提高人才培养的质量，以满足新工科建设对工程科技人才的要求。

参考文献

[1]刘丽，尹进田，彭志华.新工科视域下《自动控制原理》课程改革探讨[J].中国电力教育，2020（8）：72-73.

[2]尾形克彦.现代控制工程[M].5版.北京：电子工业出版社，2011.

[3]李昌春，韩力，左为恒.自动控制原理课程建设的体会与思考[J].电气电子教学学报，2010，32（S1）：74-75+78.

[4]董红生，朱东山，林娟，等.应用型本科院校自动控制原理课程教学改革探讨[J].中国现代教育装备，2020（15）：69-71.

[5]程鹏.自动控制原理[M].2版.北京：高等教育出版社，2010.

Exploration on Case Teaching Methods of the Principles of Automatic Control Course in the Context of Emerging Engineering Education

PAN Qi， FENG Bao， XU Long， LI Jing， LI Ou-xun

（College of Electronic Information and Automation， Guilin University of Aerospace Technology， Guilin， Guangxi 541004， China）

Abstract： Teaching methods must be improved in the context of Emerging Engineering Education. Principles of Automatic Control is a core fundamental course for automation major， which is highly theoretical and thus difficult to learn. This paper introduces the case teaching procedure of explaining several important concepts based on the pendulum model， aiming to show how to choose excellent examples and combine theory with practice in teaching. Case teaching method can not only help students better understand the knowledge， but also improve the ability of using theoretical knowledge to solve practical problems and gain more interest in the course， so as to improve the quality of talent training.

Key words： Emerging Engineering Education; principles of automatic control; case teaching; automation; pendulum