[出处] 教育教学论坛_2022年第28期

闫志忠

（北京理工大学 数学与统计学院，北京 100081）

一、“数学分析”课程教学现状

成果导向教育理念（Outcomes-Based Education,OBE），简称OBE理念，强调以学生为中心，以学生发展为目的，重视学生的学习成果。基于OBE理念，不少学者和教师进行了OBE理念下“高等数学”的教学研究。例如，黄永辉等介绍了“数学分析”课程中的教学案例，挖掘了“数学分析”课程中蕴含的思政元素，探讨了基于OBE理念下“数学分析”课程思政的教学研究。张爱清等深刻分析了“高等数学”的教学现状，将OBE理念融入“高等数学”教学，从教师教学理念的更新、教学目标的制订、教学方法的改革、考核方式的完善等方面探讨了“高等数学”教学模式的改革。张杰等总结了“数学分析”课程的特点及在教学过程中存在的问题，然后将OBE教学理念应用于这门课程教学中，从课程大纲制定、启发式教学模式、基于MATLAB科学计算软件的数学实验和课程评价标准与方式等四个方面，阐述了OBE理念在“数学分析”课程教学中的应用。骆桦等探讨了“数学分析”教学与信科专业结合的教学模式。大类“数学分析”课程是理工科非数学本科专业学生学习的一门重要的必修基础课。如果把数学比喻成一个王国的话，那么数学分析就是这个王国的基础语言。随着人工智能、信息科技、科学计算及金融数学的飞速发展，“数学分析”的思想和方法几乎渗入现代科技的所有领域，越来越多的行业迫切需要高深的现代数学知识，而要运用数学创造高技术，就必须掌握好“数学分析”这一重要的数学王国语言。现代科学技术正由工程层面的创新转化为基础理论层面的研究，而基础理论层面的研究需要抽象思维、逻辑推理、科学计算和空间想象等能力。与其他学科相比，“数学分析”集中体现了对这些能力的培养。当今谁能占领数学最高地，谁就能占领技术的最高地。数学在现代技术进步中，扮演着越来越重要的角色。“数学分析”课程所讲授的数学基本概念、理论和方法不仅为学生进一步学习打下坚实基础，而且有利于提升学生的科学素养，在培养学生树立科学的世界观、增强学生分析问题和解决问题的能力、培养学生的探索精神和创新意识等方面，具有不可替代的作用。

目前，在“数学分析”教学中，教学方面存在的问题是讲解太细、太烦琐、过于注重讲授；学生方面的问题是被动接受知识、不愿意思考与交流，仅把“数学分析”课程学习当作一项任务来完成，缺少学习的主动性。由于“数学分析”课程主要讲授传统的经典数学理论，学生和教师已经习惯了传统的教学模式，因此，其课程本身的重要性和特点决定了教学改革难度比较大。而且，传统的“数学分析”教学比较注重培养和提高学生数学科学思维和科学素养，重点讲解数学概念、数学模型和科学思路，很少将数学理论知识与专业知识相结合，导致学生在大一学习“数学分析”时，由于缺少对自己专业课程的足够认识，并未理解该课程的应用价值，造成一些学生对“数学分析”课程重视程度不够，学习积极性不高，学习动力不足，学习效果不理想。因此，改革传统的“数学分析”教学内容和教学模式势在必行。针对目前国内大类书院制培养下的“数学分析”教学面临的突出问题，基于OBE理念，本文提出了以项目为载体、以数学为工具的“数学分析”项目制课程教学模式，将“数学分析”教学与专业课程进行有机结合，根据学生的专业要求更新教学内容，坚持分层次教学，通过制订不同的教学大纲，开展专题研究，合理决定教学侧重点等措施，使“数学分析”教学与专业培养目标紧密结合，为学生专业学习奠定坚实数学基础，符合OBE教育理念和人才成长规律。

二、与专业结合的“数学分析”教学实践

以数学知识教育为重点，以素质教育为核心，以能力培养为手段，充分发挥数学学科优势，将“数学分析”基础知识融入学生的专业知识中，建立适合专业特点的“数学分析”教学课程内容体系和案例，努力实现学生基础知识、科学素养和创新能力的全面提升。

（一）把“数学分析”教学内容与专业知识相结合

我们在设计“数学分析”教学内容体系时，有目的将某一数学知识点进行外延，选择专业相关例题，通过举例将数学科学思维素养与专业知识有机融合，使学生理解“数学分析”课程在其专业课程中的实用价值，提升学生对“数学分析”课程的重视，培养学生的学习兴趣和积极性。如针对信控专业和机电专业的学生，结合电容式加速度传感器进行授课，对传感器件的数学模型进行分析。为培养学生的工程意识，近年来，在教学中尝试引入工程实例，结合数学在工程技术中的应用进行教学实践。例如：通过热力学中的波动方程进行“数学分析”课堂例题的真实化、专业化授课。

（二）以专业课程中的数学问题作为案例开展专题研究

在讲授“数学分析”课程基础知识之后，针对不同专业的学生有所侧重地讲述与专业相关的数学知识模块和专业实践案例。通过数学概念引入、数学思想建立、数学方法的解决手段，以及数学与专业相对应的专业案例，强调数学概念和专业知识的相通性，达到提高学生兴趣、树立学习数学的信心、巩固数学知识的目的。

（三）针对不同专业的学生制订不同的授课计划

根据各专业特点调整教学方法，扩充和删减教学内容，精选补充最基本、最必要、最实用的内容，制订不同的授课计划。“数学分析”课程通常分为近代模块、极限和函数连续模块、微分学模块、积分学模块、级数和微分方程模块、数学实验模块等。

1.力学、机械专业：在讲述数学知识时，重视数学思想的渗透。例如，向工程力学和固体力学专业学生讲授材料的强度、刚度和挠度等概念，以及风阻尼器原理时，渗透数学分析微元法的思想。结合前沿研究课题，提炼并讲授力学、机械专业中的数学问题。例如，声子晶体在波调控领域展现了超出常规材料的力学性能，其最重要的特性就是波带隙特性，在声学二极管、声学斗篷、热力学斗篷等方面具有潜在的重要应用，在求带隙时，从数学方面提炼由偏微分方程控制的波动方程在声子晶体中的传播问题，探讨偏微分方程的特征值的求解问题。此外，噪声、振动与声振粗糙度控制技术（NVH技术）在现今的汽车制造技术中日趋重要，汽车的减振降噪是国内各大汽车制造厂商面临的巨大技术难题，因此，我们可以从减振降噪材料的应用方面探讨如何更好地实现汽车的减振降噪。汽车的减振降噪材料是声子晶体，其带隙特性能够在汽车减振降噪中发挥屏蔽特定频率声波的重要作用。声波带隙是指在一定频率范围内完全禁止声波在材料中的传播，这个频率范围就称为带隙。从数学中提炼的问题就是对声波方程，也就是偏微分方程进行计算，从而得到特征方程，由此得到频散图，进而对声波带隙进行研究。

2.信息科学、计算机专业：结合计算机相关课程，使学生逐渐掌握一些常用的数学软件，如Matlab和Mathematica，学会使用这些软件求解函数表达式的极限、微分与积分、代数方程的根等，从而使学生在大学低年级就具有较熟练使用计算机的能力，增强学生对课堂所学知识的理解，提高学习数学的兴趣，并为信息科学、计算机专业后续课程“科学计算与信息处理”两大方向的学习奠定良好的基础。针对计算机专业学生，可以向其介绍蒙特卡罗方法，该方法应用于求解微分方程，与电子计算机的发展有着很大的关系。在电子计算机出现以前，如果进行蒙特卡罗模拟需要重复进行很多次试验，并记录结果，十分浪费资源且效率低下，但是在计算机出现之后，这些试验都可以通过生成随机数在电子计算机上进行模拟，大大增加了蒙特卡罗方法的效率。

早在20世纪40年代，就有学者注意到了可以使用蒙特卡罗方法求解一些复杂的微分方程，尤其是求解关于描述核粒子在介质中传输的玻尔兹曼方程、Fokker-Planck方程及薛定谔方程，并且讨论了蒙特卡罗方法求解这些问题的可行性。在20世纪50年代，有学者应用蒙特卡罗方法求解二维的位势方程的初值问题，并与精确解做比较。随着计算机科学的发展，使用电子计算机进行蒙特卡罗模拟越来越方便，运用蒙特卡罗方法求解问题不再像以前那样缺乏效率，因此，运用蒙特卡罗方法求解微分方程越来越受到关注。在20世纪60年代，有学者使用蒙特卡罗马尔可夫链方法在计算机上实现了求解抛物型偏微分方程的应用，在一些文献中，我们可以看到，在蒙特卡罗模拟的次数N=1000时，用蒙特卡罗马尔可夫链方法得到的扩散方程的数值解和精确解的误差是很小的，而且文章中也说明了这种蒙特卡罗模拟在当时的简单计算机上十分容易实现。随着计算机科学的进一步发展，蒙特卡罗方法在求解微分方程方面得到了更加广泛的应用，一些学者依靠蒙特卡罗方法求解决热传导问题，详细地讨论了在双介质条件下的格林函数，并且讨论了在正弦热源、均匀热源及给定表面温度时的热传导方程的求解并推广到了三介质情形，给出了相应情形下的算例，可以看到蒙特卡罗方法适用于各种情形，而且蒙特卡罗方法计算的结果误差都是可接受的，文章详细讨论了误差的原因，同时展示了在电子计算机上是如何实现用蒙特卡罗方法求解热传导方程的。一些学者利用专用数字计算机进行蒙特卡罗模拟求解Poisson方程，并且通过算例表明，在专用计算机上使用蒙特卡罗模拟求解Poisson方程时，得到的结果会比一般的电子计算机求解相同问题时速度更快，并且解的精度会比一般的电子计算机上的解精度提高两个小数点。通过引入蒙特卡罗方法与计算机发展的密切关系，使计算机专业的学生体会到数学方法与计算机的依赖关系，从而对计算机硬件方面的专业学习更有针对性和兴趣性。

（四）合理规划教学侧重点

以往“数学分析”课程教学由于兼顾各专业学习的局限性，就一些专业学生而言部分知识学非所用，并且存在理论脱离实际，重理论学习、轻能力培养等现象。这就需要在教学内容的改革中注重专业知识及教学内容的选择，在保持“数学分析”课程内容体系基本完整的前提下，在充分了解课程内容与学生所学专业课程的联系情况的基础上，针对不同专业的理工科学生，有所侧重地安排“数学分析”教学内容，构建合理科学的“数学分析”与专业课程相结合的特色知识模块。

三、实践效果

教师结合各专业特点给出一些有意义和有价值的论文题目，这些题目是从专业中提取出来的研究课题，学生通过图书馆查阅文献资料，分析、归纳、总结后写成论文作为平时成绩依据。通过结合专业情况进行“数学分析”实践教学，取得了一定效果：（1）通过修订教学大纲、制订不同专业教学计划、改革教学内容和教学方法等措施，满足了不同层次、不同专业学生的需要。（2）“数学分析”课程教师与专业学院教师合作优选出完整的专业实际问题，编制了包括数学问题提出、数学问题解决、对数学知识掌握和专业学习问题极大帮助的案例库，对学生学好专业知识具有事半功倍的作用。（3）“数学分析”课程面向专业、突出应用的教学模式，为兄弟院校和物理等其他课程教学提供了借鉴。经过一年的教学实践，笔者对结合专业知识的“数学分析”教学效果进行了调查分析，调查对象是北京理工大学数学与统计学院、徐特立学院和求是书院大约1000名学生。调查结果显示，绝大部分学生认为在“数学分析”课程中有机融合专业知识和案例，能够调动上课积极性，提高学习效率，具体分析结果如图1所示。

图1 结合专业知识的“数学分析”教学效果调查结果

通过与专业有机融合的“数学分析”教学实践，面向专业，以专业为导向，突出应用，倡导“从专业中来，到专业中去”的教学理念，极大方便了后继专业课程的教学，促进了学生综合素质的提高。